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Quelques problèmes rencontrés dans la réalisation d'une projection sphérique à miroir:

- la dimension des pixels :
La demi circonférence de mon écran mesure 3.14159 x 65cm = 204cm.
Une demi-hémisphère de 65cm de rayon a donc une surface équivalente à un écran plat de 2 mètres de large. Comme elle est observée à une distance de 65cm les pixels sont très visibles.

- la qualité des pixels :
dans les projecteurs courants les trois composantes rouge, verte et bleue ne convergent pas exactement sur l'écran et donnent du pixel une image plus ou moins "baveuse" selon les modèles.
Sur les projecteurs LCD les composantes sont volontairement décalées pour réduire la taille apparente de la grille noire. (les pixels étant transparents, l'électronique qui les commande ne peut être située que dans la grille support, nécessairement assez épaisse).
Sur un projecteur DLP doté d'une unique matrice opaque ce défaut est quand même souvent présent à cause de la qualité médiocre de l'optique.
Le seul vidéoprojecteur satisfaisant que je connaisse (je ne les connais pas tous!) est l'OPTOMA H79. (4000€ neuf, mais il n'est plus disponible. On le trouve toutefois d'occasion aux environs de 1000€, car il est remplacé, en haut de gamme, par les projecteurs full HD).

- l'image délavée.:
Cela est provoqué par la forme même de la coupole qui renvoie la lumière non seulement vers le spectateur mais aussi vers elle même.
Ce problème est une vrai difficulté sans solution simple(peindre l'écran en gris clair atténue cet effet).
Il faut donc disposer au départ d'une image aussi "solide" ou contrastée que possible (choisir un projecteur DLP plutôt qu'un LCD).

La déformation de l'image:
- l'objectif fisheye possède une géométrie simple, avec une symétrie de révolution autour de l'axe optique. La déformation est toujours la même pour tous les fisheye (du même type).
Ce n'est plus la cas avec le miroir.
Le système n'est plus centré. La déformation varie avec les configurations.
Elle dépend des dimensions et des positions relatives de la coupole, du miroir et du projecteur.
Une image adaptée à un système ne le sera pas à au autre.

Le format:
- l'image fisheye est circulaire. Elle s'inscrit assez bien dans un cadre 4/3.
- l'image miroir est elliptique et s'inscrit très bien dans un cadre 16/9.

L'optique du projecteur:
- la mise au point se fait approximativement sur le miroir.
Si ce dernier est petit, le projecteur devra en être proche, peut être trop près pour faire le point sur cette distance trop courte. Il y a donc un rapport étroit entre le rayon du miroir et l'optique du projecteur.
- contrairement au fisheye, système centré, dans un sytème à miroir la lumière ne parcourt pas la même distance pour tous les points de l'image.
Il faut donc une grande profondeur de champ. On l'obtient en diaphragmant. Mais on perd alors une partie de la lumière. En pratique on règle la mise au point pour la partie de l'écran qui fait face au spectateur. Le ciel devient légèrement flou, mais ce n'est pas vraiment génant.
- aspect pratique : Le fisheye, et donc le projecteur, doivent être dans l'axe de l'écran. Lorsque ce dernier est incliné, le projecteur doit l'être aussi. Incliner fortement le projecteur peut réduire la durée de vie de la lampe (en général chère).
Dans le cas du miroir, le projecteur demeure horizontal, le miroir renvoyant l'image sous le bon angle.

La fabrication des images et leurs transformations:
il faut un moyen d'obtenir des images couvrant un champ de 180°.
- En cinéma la seule solution pratique est le fisheye.
- En photographie on peut aussi utiliser le système du cube : prendre plusieurs photos successives pour couvrir tout le champ, puis les assembler en les déformant pour reconstituer l'image fisheye.
Il faut de plus un logiciel qui transforme l'image fisheye circulaire en une image elliptique "warpée" adaptée au système de projection à miroir.

- en image de synthèse on a le même problème :
Un logiciel de "ray-tracing" tel que POV-Ray est capable de fabriquer directement une image fisheye. Mais cette technique est trop lente pour le temps réel. Elle est bien adaptée pour faire des photos et des films image par image.

Pour le temps réel il faut utiliser, comme pour les jeux, une technique rapide. Elle sera basée sur OpenGL (ou DirectX).
Mais ni OpenGL ni DirectX ne savent faire directement une image fisheye. Il faut, ici aussi, utiliser l'astuce du cube et faire cinq images normales couvrant chacune un champ de 90° (de face, à gauche, à droite, en haut et en bas). A partir de ces cinq images on recontitue alors l'image fisheye ou directement "warpée" pour le miroir. Ceci à la volée.
Mais les ordinateurs actuels et surtout les cartes graphiques, mises au point pour les jeux, le permettent.

references:

le miroir :
- mon miroir actuel est un miroir de sécurité (utilisé dans les magasins) dit "quart de sphère" de 57 cm de diamètre. En réalité c'est une demi calote d'une sphère d'environ 40cm de rayon.
Elle est "argentée" à l'extérieur et coûte 119,60€ avec le port. Je l'ai commandée par internetici
La référence du miroir est VOLUM 51-57 : ici
et chez le fabricant : ici
Un miroir plus petit ferait probablement aussi bien l'affaire.

Toutefois je ne recommande pas ce miroir car il a un défaut : Il est constitué d'une matière plastique translucide blanche (incassable) sur laquelle est déposée une couche réfléchissante. Or cette dernière n'est pas totalement opaque. La lumière pénètre dans le plastique qui la réfléchit aussi vers l'écran sous forme d'un halo blanchatre qui contribue à délaver l'image. Bien que mineur ce défaut devient génant pour les images claires.